Limites de suites - Spécialité

On s’intéresse à l’efficacité d’un type de vaccin européen contre la grippe.

Pour l’année \( 2003 \), il y avait \( 240 \) millions de cas de grippe.
Avec ce vaccin, chaque année, le nombre de cas diminue de \( 25 \) millions.

On modélise le nombre de cas annuel par une suite numérique arithmétique \( ( a_n ) \).
On note \( a_0 \) le nombre de cas annuel observés (en millions) en \( 2003 \).
Étant donné un entier naturel \( n \), on note \( a_n \), le nombre de cas annuel (en millions) pendant l’année \( 2003 + n \).
On a donc le premier terme \( a_0 = 240 \).

En dessous d’un certain seuil de nombre de cas, il faudra mettre en place un autre type de vaccin.
Déterminer à partir de quelle année le nombre de cas de grippe sera strictement inférieur à \( 170 \) millions

(Exemple de réponse attendue : \( 2003) \)

Soit la suite : \[\left(u_n\right): u_n = 2n^{2}\]À partir de quel rang n, a-t-on \(u_n \geq 1000 \) ?

Soit la suite \[\left(u_n\right) : u_n = \frac{2}{7\sqrt{n + 2}}\] À partir de quel rang n, a-t-on \(0 \lt u_n \leq 10^{-3} \) ?

Consommation d'antibiotiques

En l'an 2000, les ventes d'antibiotiques s'élevaient en France à 204 millions de boîtes. La consommation abusive d’antibiotiques s'est traduite par un développement des résistances bactériennes. Cette question préoccupe encore aujourd’hui les autorités sanitaires. En France, un plan national a été engagé en 2001 sur le thème «les antibiotiques, c'est pas automatique».
On a constaté que, de 2000 à 2015, la vente de boîtes d’antibiotiques en France a baissé chaque année de 5%. On suppose, dans cet exercice, que la baisse de 5% par an va se poursuivre jusqu’en 2100. On étudie ce modèle.

Le nombre de boîtes d’antibiotiques vendues sera exprimé en millions de boîtes, arrondi si nécessaire, à \( 10^{-3} \).
On modélise le nombre de boîtes d'antibiotiques vendues en France à l’aide d’une suite numérique \( (u_n) \).
On note \( u_0 \), le nombre (en millions) de boîtes d'antibiotiques vendues en France en l'an 2000.
Étant donné un entier naturel \( n \), on note \( u_n \) une estimation, dans le modèle choisi, du nombre (en millions) de boîtes d'antibiotiques vendues en France pendant l'année 2000 + \( n \).
On a donc \( u_0 = 204 \).

À combien de millions peut-on estimer le nombre de boîtes d'antibiotiques vendues en 2001 selon le modèle choisi ?
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \).

Quelle est la nature de la suite \( (u_n) \) ?

Déterminer sa raison.

Exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \), pour tout entier naturel \( n \).

Résoudre l'inéquation : \[ 204 \times 0,95^{x} \leq 130 \]
On donnera la réponse exacte sous la forme \( x \leq ... \) ou \( x \geq ... \) et en utilisant, si nécessaire, le logarithme népérien.

En utilisant le modèle choisi, déterminer à partir de quelle année le nombre de boîtes d'antibiotiques vendues sera inférieur à 130 millions.

La suite \((u_n)\) est une suite arithmétique telle que : \(u_1 = -8\) et \(u_6 = -18\).
Sa raison est égale à :

La suite \((u_n)\) est une suite arithmétique de raison \(-14\) et telle que \(u_1 = 1139\).
Le premier entier naturel \(n\) tel que \(u_n \leq 425\) est :